点关于直线的距离、垂足、对称点公式

下面通过两种直线方程的形式，求解点关于直线的距离、垂足、对称点公式。

问题描述1：已知点的坐标（x0，y0），直线的方程为Ax+By+C = 0；求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足（x, y）、点关于直线的对称点(x’, y‘)。

解决方法：

（1）距离：

d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );

这个“距离”有符号，表示点在直线的上方或者下方，取绝对值表示欧式距离。

（2）垂足：

求解两个方程：（a）、Ax + By + C = 0;（b）、(y - y0) / (x - x0) = B / A;

解得，x = ( B*B*x0 - A*B*y0 - A*C ) / ( A*A + B*B );

y = ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C ) / ( A*A + B*B );

（3）对称点：

方法一：求解两个方程：(a)、A*( x’+x0 ) / 2 + B*( y‘+y0 ) / 2 + C = 0; (b)、(y’ - y0) / (x‘ - x0) = B / A;

方法二：把问题转化为求解已知点关于垂足的对称点：

首先，求出垂足；则x’ = 2*x - x0; y‘ = 2*y - y0;

解得，x’ = ( (B*B - A*A)*x0 - 2*A*B*y0 - 2*A*C ) / ( A*A + B*B );

y‘ = ( -2*A*B*x0 + (A*A - B*B) * y0 - 2*B*C ) / ( A*A+B*B );

方法三：首先，求一系数k，k = - 2 * (A*x0 + B*y0 + C) / (A*A+B*B);

则，x' = x0 + k * A;

y' = y0 + k * B;

此证明详见资源：http://download.csdn.net/detail/changbaolong/4196639

问题描述2：已知点的坐标（x0，y0），直线上的两点（x1，y1）、（x2，y2）；求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足（x, y）、点关于直线的对称点(x’, y‘)。

解决方法：

方法一：把直线化两点式为一般式，则一般式中的A = y2 -y1; B = x1 - x2; C = x2*y1 - x1*y2;带入上面的公式，即可求出相应的距离、垂足、对称点。

方法二：

（a）距离：

首先，求出垂足的坐标；

则d = sqrt((x - x0) * (x - x0) + (y - y0)* (y - y0));

（b）垂足：

首先，求一系数 k：设直线的起点和终点分别为A（x1， y1）、B（x2， y2），直线外一点为C（x0， y0），垂足为D；并设k = |AD| / |AB。

则，k *AB = AD = AC+CD，又AB * CD= 0；所以，k *AB*AB=AC*AB，故 k =AC*AB/ （AB*AB）。

带入坐标，即得，k = ( (x0- x1) * (x2 - x1) + (y0 - y1) * (y2 - y1) ) / ((x2 - x1) * (x2 - x1) +(y2 - y1) * (y2 - y1)) ;

则x = x1 + k*(x2 - x1); y = y1 + k*(y2 - y1);

（c）对称点：

同问题描述1中的方法。

原文来自狼牙的BLOG，原文链接：http://blog.csdn.net/changbaolong/article/details/7414796