泰勒级数的定义:
若函数f(x)在点的某一临域内具有直到(n+1)阶导数,则在该邻域内f(x)的n阶泰勒公式为:
其中:,称为拉格朗日余项。
以上函数展开式称为泰勒级数。
泰勒级数在幂级数展开中的作用:
在泰勒公式中,取,得:
这个级数称为麦克劳林级数。函数f(x)的麦克劳林级数是x的幂级数,那么这种展开是唯一的,且必然与f(x)的麦克劳林级数一致。
注意:如果f(x)的麦克劳林级数在点的某一临域内收敛,它不一定收敛于f(x)。因此,如果f(x)在处有各阶导数,则f(x)的麦克劳林级数虽然能做出来,但这个级数能否在某个区域内收敛,以及是否收敛于f(x)都需要进一步验证。
几个重要的泰勒级数。参数x为复数时它们依然成立。
二项式展开中的C(α,n)是二项式系数。
tan(x)和tanh(x)展开式中的Bk是伯努利数。
sec(x)展开式中的Ek是欧拉数。
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