HDU 2048 神、上帝以及老天爷 (递推&错排概率)

神、上帝以及老天爷

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2048

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Problem Description

HDU 2006'10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！
为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的：

首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；
然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；
最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”

大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖！

我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？

不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？

不会算？难道你也想以悲剧结尾？！

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(1<n<=20),表示参加抽奖的人数。

Output

对于每个测试实例，请输出发生这种情况的百分比，每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入)，具体格式请参照sample output。

Sample Input

1
2

Sample Output

50.00%

思路：

1. N张字条的所有可能排列自然是N!（分母）。
现在的问题就是求N张字条的错排数f(N)（分子）。
首先我们考虑，如果前面N-1个人拿的都不是自己的票，即前N-1个人满足错排，现在又来了一个人，他手里拿的是自己的票。只要他把自己的票与其他N-1个人中的任意一个交换，就可以满足N个人的错排。这时有(N-1)*f(N-1)种方法。

Besides，我们考虑，如果前N-1个人不满足错排，而第N个人把自己的票与其中一个人交换后恰好满足错排。
这种情况发生在原先N-1人中，N-2个人满足错排，有且仅有一个人拿的是自己的票，而第N个人恰好与他做了交换，这时候就满足了错排。
又因为前N-1个人中，每个人都有机会拿着自己的票。所以有N-1种交换的可能。故这时有(N-1)*f(N-2)种方法。

综上所述：f(N)=(N-1)*[f(N-1)+f(N-2)]

2. 另一种推导思路是先通过容斥定理直接计算出错排数f(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+((-1)^n)/n!)

所以f(n)/n!-f(n-1)/(n-1)!=((-1)^n)/n!

两边同时乘上n!有f(n)-n*f(n-1)=(-1)^n

所以f(n-1)-(n-1)*f(n-2)=(-1)^(n-1)=(-1)*[f(n)-n*f(n-1)]

化简得f(n)=(n-1)*[f(n-1)+f(n-2)]

3. 通过错位排列数的简化公式来计算（参考维基百科）

完整代码：

/*0ms,224KB*/

#include<cstdio>
#include<cmath>
const double e = exp(1.0);

double p[21];

int main()
{
	double temp = 1.0;
	int t, n, i;
	for (i = 2; i <= 20; ++i)
	{
		temp *= i;
		p[i] = round(temp / e) / temp;
	}
	scanf("%d", &t);
	while (t--)
	{
		scanf("%d", &n);
		printf("%.2f%%\n", p[n] * 100.0);
	}
	return 0;
}